数据库系统（三）关系模式设计之规范形式

关系模式设计之规范形式

函数依赖

(1) 函数依赖的定义
设 R(U) 是属性集合 $ U = {A_1,A_2,…,A_n} $ 上的一个关系模式，X, Y 是 U 上的两个子集。若对 R(U) 的任意可能关系 r，r 中不存在两个元组在 X 中的属性值相等而在 Y 中的属性值不等，则称 “X函数决定Y” 或 **”Y函数依赖于X”**，记作 $ X \to Y $。

示例

属性全集：
$ U = {\text{学号}, \text{姓名}, \text{年龄}, \text{班号}, \text{班长}, \text{课号}, \text{成绩}} $

▢ $ \text{学号} \to {\text{姓名}, \text{年龄}} $
▢ $ \text{班号} \to \text{班长} $
▢ $ {\text{学号}, \text{课号}} \to \text{成绩} $ z

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设计关系模式时
除给出属性全集外，还需明确给出 数据依赖集合。

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注

函数依赖的成立取决于：

1. 问题领域的限定和分析；
2. 业务规则的正确理解。

示例说明：

• 若问题领域中学生无重名，则存在：
  $ \text{姓名} \to {\text{年龄}, \text{家庭住址}} $
• 若问题领域中学生有重名，则上述依赖不成立。

函数依赖的特性

1. 非平凡函数依赖
   对 $ X\rightarrow Y $，但 $ Y\subsetneq X $，则称 $ X\rightarrow Y $ 为非平凡的函数依赖。

2. 决定因素
   若 $ X\rightarrow Y $，则任意两个元组在X上值相等时，在Y上值必然相等，称X为决定因素。

3. 相互函数依赖
   若 $ X\rightarrow Y $ 且 $ Y\rightarrow X $，则记作 $ X\leftrightarrow Y $。

4. 非函数依赖表示
   若Y不函数依赖于X，则记作 $ X\not\rightarrow Y $。

5. 依赖的适用范围

   • 基于模式R：对任意关系r成立
   • 基于具体关系r：仅对某一特定关系r成立

6. 特殊情形下的恒等依赖
   如一关系r的某属性集X，r中不存在X值相等的两个元组，则 $ X\rightarrow Y $ 恒成立。

函数依赖类型：完全依赖与部分依赖

[Definition] 部分或完全函数依赖

在关系模式 R(U) 中：

依赖类型	定义	表示法
完全函数依赖	若 X → Y 且对 X 的任意真子集 X' 都有 X' ↛ Y	$ X \xrightarrow{f} Y $
部分函数依赖	若 X → Y 但存在 X 的真子集 X' 使得 X' → Y	$ X \xrightarrow{p} Y $

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概念解析：

1. 完全依赖的核心特征

   • 决定因素 X 必须完整才能确定 Y
   • 移除 X 的任意属性都会破坏依赖关系
     示例：
     $ {\text{学号}, \text{课程号}} \xrightarrow{f} \text{成绩} $

2. 部分依赖的识别

   • Y 可由 X 的某个真子集单独决定
   • 存在属性冗余的决定因素
     示例：
     $ {\text{学号}, \text{姓名}} \xrightarrow{p} \text{年龄} $
     （因 $\text{学号} → \text{年龄}$ 已成立）

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视觉提示：

• 完全依赖符号：$ \xrightarrow{f} $ (f: full)
• 部分依赖符号：$ \xrightarrow{p} $ (p: partial)
• 非函数依赖符号：$ \not\rightarrow $

传递函数依赖

[Definition]

在关系模式 R(U) 中，设 X, Y, Z 是 U 的子集。若满足：

1. $ X \to Y $
2. $ Y \to Z $
3. $ Y \not\subset X $（即 Y 不是 X 的子集）
4. $ Z \not\subset Y $
5. $ Z \not\subset X $
6. $ Y \not\to X $（即 Y 不能函数决定 X）

则称 Z 传递函数依赖于 X，记作 $ X \xrightarrow{t} Z $（t: transitive）。

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核心条件解析：

条件	数学表示	语义说明
依赖性	$ X \to Y $ 且 $ Y \to Z $	存在依赖链传递关系
非包含性	$ Y \not\subset X $ $ Z \not\subset Y $ $ Z \not\subset X $	排除因集合包含关系导致的依赖
非相互依赖	$ Y \not\to X $	确保 Y 不是 X 的等价属性集

传递依赖的本质：当且仅当依赖不能通过直接路径（$ X \to Z $）建立，但可通过中间属性 Y 间接推导时成立。

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示例说明：

学生选课系统中：
$ \text{学号} \to \text{班号} $
$ \text{班号} \to \text{班长} $
且满足非包含条件：

• 班号 ⊄ 学号
• 班长 ⊄ 班号
• 班长 ⊄ 学号
• 班号 ↛ 学号

则 $ \text{学号} \xrightarrow{t} \text{班长} $

[Definition] 候选键

设 $ K $ 为关系模式 $ R(U) $ 中的属性或属性组合，若满足：
$$ K \xrightarrow{f} U $$
则称 $ K $ 为 $ R(U) $ 上的 候选键 (Candidate Key)。

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说明：

1. 主键选择
   可任选一候选键作为 $ R $ 的 主键 (Primary Key)

2. 主属性划分

   • 包含在任一候选键中的属性 → 主属性 (Prime Attribute)
   • 未包含在任何候选键中的属性 → 非主属性 (Non-Prime Attribute)

3. 超键定义
   若 $ S \supset K $（$ S $ 真包含 $ K $）且 $ K $ 是候选键 →
   $ S $ 为 超键 (Super Key)

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概念关系图解

graph LR
    A[超键] --> B[候选键] --> C[主键]
    B --> D[主属性]
    C --> D
    A -.-> E[非主属性]

外来键
若R(U)中的属性或属性组合X并非R的候选键，但X却是另一关系的候选键，则称X为R的外来键(Foreign Key)，简称外键。

第一范式

若关系模式R(U)中关系的每个分量都是不可分的数据项(值、原子)，则称R(U)属于第一范式，记为：R(U) ∈1NF。

1NF要求关系中不能有复合属性、多值属性及其组合。

将 非1NF转换为 1NF情况：将复合属性处理为简单属性；将多值属性与关键字单独组成一新的关系。

第二范式

若R(U)∈ 1NF 且 U中的每一非主属性完全函数依赖于候选键，则称R(U)属于第二范式，记为：R(U)∈2NF。

第二范式消除了非主属性对候选键的部分依赖。

第三范式

第三范式 (3NF) 定义 若关系模式 $R(U, F) \in \text{2NF}$ 且 $R$ 中不存在以下情况：

• 候选键 $X$
• 属性组 $Y \subseteq U$
• 非主属性 $A$
• 满足： 1. $A \notin X$ 且 $A \notin Y$ 2. $Y \not\subseteq X$ (Y 不包含于 X) 3. $Y \nrightarrow X$ (Y 不函数决定 X) 4. $X \rightarrow Y$ 且 $Y \rightarrow A$ 则称 $R(U)$ 属于第三范式，记为： $$R(U) \in \text{3NF}$$

第3范式消除了非主属性对侯选键的传递依赖

关系模式设计如满足第3范式，则一定能满足第2范式；反之则不然。

BCNF

若 $R(U, F) \in \text{1NF}$，且对于任何 $X \rightarrow Y \in F$（或 $X \rightarrow A \in F$），当 $Y \not\subseteq X$（或 $A \notin X$）时，$X$ 必含有候选键，则称 $R(U)$ 属于 Boyce-Codd 范式，记为：$$R(U) \in \text{BCNF}$$

[定理] 若 $R(U,F) \in \text{BCNF}$，则 $R(U,F) \in \text{3NF}$。

证明：
（反证法）假设 $R(U,F) \in \text{BCNF}$ 但 $R(U,F) \notin \text{3NF}$。
依据 3NF 定义，必存在传递依赖：
$$\exists X \rightarrow Y,\ Y \rightarrow A$$
其中：

• $X$ 是候选键
• $A \notin X$ 且 $A \notin Y$
• $Y \nrightarrow X$（即 $X \notin Y$）

由于 $A \notin Y$，$Y \rightarrow A$ 违反 BCNF 的定义（BCNF 要求所有非平凡函数依赖的左侧必须包含候选键，但 $Y$ 不是候选键）。
故假设矛盾，定理得证。
证毕。

→ 总结：存在传递依赖或不满足 3NF 的关系模式，必定不满足 BCNF。

多值依赖（MVD）

定义：
设 $X, Y \subseteq U$, $Z = U - X - Y$，
$X \to\to Y$ 成立当且仅当：
对任意 $t_1, t_2$ 满足 $t_1[X] = t_2[X]$，
必存在 $t_3, t_4$ 使得：

1. t3[X]=t4[X]=t1[X]
2. t3[Y]=t1[Y] 且 t3[Z]=t2[Z]
3. t4[Y]=t2[Y] 且 t4[Z]=t1[Z]

关键特性

性质	规则
互补性	$X \to\to Y \Rightarrow X \to\to Z$
FD蕴含MVD	$X \to Y \Rightarrow X \to\to Y$
超键条件	$X \to\to Y$ 中 $X$ 是超键 ⇒ 平凡 MVD

典型案例：课程分配表

Course	Teacher	Textbook
Math	Alice	Calculus
Math	Alice	Algebra
Math	Bob	Calculus
Math	Bob	Algebra

MVD存在：
$Course \to\to Teacher$
$Course \to\to Textbook$（互补性）

graph LR
A[1NF] --> B[2NF]
B --> C[3NF]
C --> D[BCNF]
D --> E[4NF]

subgraph MVD处理
D -- 存在非平凡MVD --> E
end

subgraph FD处理
A -- 消除部分依赖 --> B
B -- 消除传递依赖 --> C
C -- 消除主属性依赖 --> D
end

**第四范式 (4NF) **

设关系模式 $R(U) \in \text{1NF}$，$D$ 是其上的一组依赖（包括函数依赖和多值依赖）。若对任意非平凡多值依赖 $X \to\to Y \in D$ 满足以下条件：

1. $Y \neq \phi$ （Y 非空）
2. $Y \not\subset X$ （Y 不包含于 X）
3. $XY \neq U$ （X 和 Y 的组合不等于全集）

必有 $X$ 为超键（即 X 包含候选键），则称 $R(U)$ 满足第四范式，记为：
$$R(U) \in \text{4NF}$$

如果有多值依赖，则一定依赖于候选键

第四范式消除了非主属性对候选键以外属性的多值依赖。

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$R(U) \in \text{4NF}$ 当且仅当：

1. $R \in \text{BCNF}$
2. 对所有非平凡 MVD $X \to\to Y$，$X$ 必须是超键

分解方法

若存在非平凡 MVD $X \to\to Y$，可无损分解为：
$$R_1(X \cup Y), \quad R_2(X \cup Z) \quad (Z = U - X - Y)$$

范式关系	条件	结论
4NF→BCNF	无限制	恒成立
BCNF→4NF	仅存在函数依赖（无MVD）	等价
BCNF→4NF	存在多值依赖（MVD）	不成立

graph LR
    BCNF -- 存在多值依赖 --> 需升级至 --> 4NF
    4NF -- 仅函数依赖 --> 等价于 --> BCNF
    4NF -- 无限制 --> 严格强于 --> BCNF

关系的第4范式和弱第4范式

[Definition] W4NF
设关系模式 $R(U) \in \text{3NF}$，若 $R$ 上的任何互补多值依赖：

• $X \twoheadrightarrow Y$
• $X \twoheadrightarrow (R - X - Y)$

满足约束条件：

1. $XY \neq U$ （$X$ 与 $Y$ 组合非全集）
2. $Y - X \neq \varnothing$ （$Y$ 有独立于 $X$ 的属性）

则必有一个是多值依赖是函数依赖（即 $X \to Y$ 或 $X \to (R-X-Y)$），此时称 $R$ 是弱第四范式的，记为：
$$R \in \text{W4NF}$$

注：

1. W4NF 不一定是 BCNF
2. BCNF 也不一定是 W4NF
3. $\twoheadrightarrow$ 表示多值依赖符号（常见替代：X \to\to Y）